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标题: 微分方程，怎么设特解，怎么特解 [打印本页]

作者: 123 时间: 2022-7-29 07:03
标题: 微分方程，怎么设特解，怎么特解

微分方程，怎么设特解

如果右边为多项式，则特解就设为次数一样的多项式；
如果右边为多项项乘以e^（ax)的形式，那就要看这个a是不是特征根：
如果a不是特征根，那就将特解设为同次多项式乘以e^(ax)；
如果a是一阶特征根，那这个特解就要在上面的基础上乘以一个x；
如果a是n重特征根，那这个特解就要在上面的基础上乘以x^n。
f(x)的形式是e^(λx)*P(x)型，（注：P（x）是关于x的多项式，且λ经常为0）
则y*=x^k*Q(x)*e^（λx） (注：Q（x）是和P（x）同样形式的多项式，例如P（x）是x²+2x，则设Q（x）为ax²+bx+c，abc都是待定系数)
1、若λ不是特征根 k=0 y*=Q(x)*e^（λx）
2、若λ是单根 k=1 y*=x*Q(x)*e^（λx）
3、若λ是二重根 k=2 y*=x²*Q(x)*e^（λx）（注：二重根就是上面解出r1=r2=λ）
f(x)的形式是e^(λx)*P(x)cosβx或e^(λx)*P(x)sinβx
1、若α+βi不是特征根，y*=e^λx*Q(x)(Acosβx+Bsinβx)
2、若α+βi是特征根，y*=e^λx*x*Q(x)(Acosβx+Bsinβx)（注：AB都是待定系数）
扩展资料：
求通解在历史上曾作为微分方程的主要目标，一旦求出通解的表达式，就容易从中得到问题所需要的特解。也可以由通解的表达式，了解对某些参数的依赖情况，便于参数取值适宜

原方程的特解怎么设

如果右边为多项式，则特解就设为次数一样的多项式，如果右边为多项项乘以e^（ax)的形式，那就要看这个a是不是特征根。
如果a不是特征根，那就将特解设为同次多项式乘以e^(ax)。如果a是一阶特征根，那这个特解就要在上面的基础上乘以一个x。如果a是n重特征根，那这个特解就要在上面的基础上乘以x^n。
乘以前面所设的特解，作为新设特解。若仍含于对应的齐次方程的通解，再乘以，直到不含于对应的齐次方程的通解为止。

想知道怎么求特解

这里λ=±i那么按照等式右边-2x可以写出特解形式为y=Ax+B可以直接看出有特解y=-2x满足要求

齐次线性微分方程组的特解怎么求

例如：
y''+2y'+y=e^x(1)//:这是二阶常系数非齐次线性微分方程；
它的特解就是找到一个函数y=f(x)，代入(1)之后，(1)式成立，则f(x)就是(1)的特解；
本例中，取y=f(x)=e^x/4，将其代入(1)，得到：
(e^x+2e^x+e^x)/4=e^x
4e^x/4=e^x
即：y=f(x)=e^x/4为二阶常系数非齐次线性微分方程(1)的一个特解。

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