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微分方程,怎么设特解,怎么特解

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发表于 2022-7-29 07:03:01 | 只看该作者 回帖奖励 |倒序浏览 |阅读模式

微分方程,怎么设特解


如果右边为多项式,则特解就设为次数一样的多项式;
如果右边为多项项乘以e^(ax)的形式,那就要看这个a是不是特征根:
如果a不是特征根,那就将特解设为同次多项式乘以e^(ax);
如果a是一阶特征根,那这个特解就要在上面的基础上乘以一个x;
如果a是n重特征根,那这个特解就要在上面的基础上乘以x^n。
f(x)的形式是e^(λx)*P(x)型,(注:P(x)是关于x的多项式,且λ经常为0)
则y*=x^k*Q(x)*e^(λx) (注:Q(x)是和P(x)同样形式的多项式,例如P(x)是x²+2x,则设Q(x)为ax²+bx+c,abc都是待定系数)
1、若λ不是特征根 k=0 y*=Q(x)*e^(λx)
2、若λ是单根 k=1 y*=x*Q(x)*e^(λx)
3、若λ是二重根 k=2 y*=x²*Q(x)*e^(λx)(注:二重根就是上面解出r1=r2=λ)
f(x)的形式是e^(λx)*P(x)cosβx或e^(λx)*P(x)sinβx
1、若α+βi不是特征根,y*=e^λx*Q(x)(Acosβx+Bsinβx)
2、若α+βi是特征根,y*=e^λx*x*Q(x)(Acosβx+Bsinβx)(注:AB都是待定系数)
扩展资料:
求通解在历史上曾作为微分方程的主要目标,一旦求出通解的表达式,就容易从中得到问题所需要的特解。也可以由通解的表达式,了解对某些参数的依赖情况,便于参数取值适宜

原方程的特解怎么设


如果右边为多项式,则特解就设为次数一样的多项式,如果右边为多项项乘以e^(ax)的形式,那就要看这个a是不是特征根。
如果a不是特征根,那就将特解设为同次多项式乘以e^(ax)。如果a是一阶特征根,那这个特解就要在上面的基础上乘以一个x。如果a是n重特征根,那这个特解就要在上面的基础上乘以x^n。
乘以前面所设的特解,作为新设特解。若仍含于对应的齐次方程的通解,再乘以,直到不含于对应的齐次方程的通解为止。


想知道怎么求特解


这里λ=±i那么按照等式右边-2x可以写出特解形式为y=Ax+B可以直接看出有特解y=-2x满足要求


齐次线性微分方程组的特解怎么求


例如:
y''+2y'+y=e^x(1)//:这是二阶常系数非齐次线性微分方程;
它的特解就是找到一个函数y=f(x),代入(1)之后,(1)式成立,则f(x)就是(1)的特解;
本例中,取y=f(x)=e^x/4,将其代入(1),得到:
(e^x+2e^x+e^x)/4=e^x
4e^x/4=e^x
即:y=f(x)=e^x/4为二阶常系数非齐次线性微分方程(1)的一个特解。




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