怎么证明垂直平分线的逆定理，垂直平分线的逆定理怎么证明

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怎么证明垂直平分线的逆定理


已知：线段AB和点P,PA=PB,
  求证：点P在AB的垂直平分线上
  证明：①若点P在线段AB上,
  则点P为AB中点,
  结论显然成立；
  ②若点P不在AB上,取AB中点M,连结PM,
  ∵PA=PB,AM=BM,
  ∴PM⊥AB（等腰三角形三线合一）
  综上所述,原命题成立.


线段垂直平分线定理逆命题证明方法


逆定理是“到线段两端距离相等的点一定在该线段的垂直平分线上”
证明：点P到线段AB两端距离PA=PB，则PAB为等腰三角形，从P往AB做垂线PC，
则PC是等腰三角形底边上的高，自然也是底边上的中线，所以PC垂直平分AB，即P在AB的垂直平分线上


垂直平分线性质逆命题如何证明？加上图


垂直平分线性质逆命题：到一条线段两端距离相等的点在这条线段的垂直平分线上。证明如下：

已知：如图，PA=PB，
求证：点P在AB的垂直平分线上
证明：
①若点P在线段AP上，
∵PA=PB，
∴点P是AB的中点，
∴点P在AB的垂直平分线上；
 
②若点P不在线段AB上，
取AB中点O，连结OP，
∵PA=PB，OA=OB，OP=OP，
∴△PAO≌△PBO，
∴∠POA=∠POB，
又∵∠POA+∠POB=180°，
∴∠POA=90°，
即OP⊥AB，
∴OP是AB的垂直平分线，
即点P在AB的垂直平分线上。
 
综上所述，若PA=PB，则P在AB垂直平分线上，逆命题正确。



怎样推出线段垂直平分线的判定定理


①利用定义：经过某一条线段的中点，并且垂直于这条线段的直线是线段的垂直平分线
②到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上．（即线段垂直平分线可以看成到线段两端点距离相等的点的集合）。
线段的垂直平分线定理也就是线段垂直平分线的性质，是证明两线段相等的常用方法之一．同时也给出了引辅助线的方法，那就是遇见线段的垂直平分线，画出到线段两个端点的距离，这样就出现相等线段，直接或间接地为构造全等三角形创造条件。
到线段两个端点距离相等的所有点组成了线段的垂直平分线，也就是线段的垂直平分线可以看做是和这条线段两个端点的距离相等的点的集合。
三角形三边垂直平分线交于一点，该点到三角形三顶点的距离相等，这点是三角形外接圆的圆心——外心。


扩展资料
逆定理：到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。 
证明：如图1，已知直线MN上任意一点P，PA=PB，MN是AB的垂直平分线，证明：P在MN上
解：∵MN是AB的垂直平分线
∴AN=NB
∵PA=PB ，PN=PN
∴△PAN和△PBN全等
∴∠PNA=∠PNB=90°
由于过平面上一点，有且仅有一条直线与已知垂线垂直，故P在MN上
∴该逆定理得证
参考资料来源：